Chứng minh 3 điểm thằng hàng trong đường tròn là một dạng toán thương gặp trong đề thi học kì Toán 9 cũng như thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Để giúp các bạn nắm vững hơn phần này, Vn
Doc gửi tới các bạn tài liệu Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn đồng thời chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 sắp tới. Mời các bạn tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.
Bạn đang xem: Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 9
I. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn
+ Chứng minh một điểm thuộc đường thẳng chứa hai điểm còn lại
+ Chứng minh qua 3 điểm xác định được một góc bẹt
+ Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau
+ Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ ba
+ Dùng tính chất đường trung trực
+ Dùng tính chất tia phân giác
+ Sử dụng tính chấy đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác
+ Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt
+ Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn
+ Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau
II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Lấy điểm C nằm giữa O và B, lấy điểm D trên đường tròn (O) sao cho AD = BC. Kẻ CH vuông góc với AD (H thuộc AD). Tia phân giác của góc DAB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và cắt CH tại F. DF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N
a, Chứng minh CH // BD
b, Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp
c, Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng
Lời giải:
a, + Có
+ Có CH vuông góc với AD (giả thiết)
Suy ra CH song song với BD (từ vuông góc đến song song)
b, + CH // BD suy ra
lại có
Suy ra
+ Tứ giác AECN có:
Hai góc cùng nhìn một cạnh
Suy ra 4 điểm A, E, N, C thuộc một đường tròn hay tứ giác AECN nội tiếp
c, + Tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn có
Ta có
+ Từ (4) và (5) suy ra
+ Xét tam giác NAE và tam giác FCE có
Góc
Suy ra hai tam giác NAE đồng dạng với tam giác FCE
Suy ra hai góc
Từ (3) và (6) suy ra
Suy ra N, C, E thẳng hàng
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng AO cắt (O) tại E và đường thẳng AO’ cắt (O’) tại F. Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng
Lời giải:
+ Có
+ Có
+ Có
Suy ra 3 điểm E, B, F thẳng hàng
Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE)
a, Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.
b, Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng
Lời giải:
a, Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.
+ Có AE là tiếp tuyến của đường tròn O
Có EM là tiếp tuyến của đường tròn O
+ Xét tứ giác AEMO có:
mà hai góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn.
+ Xét tứ giác APMQ có:
Suy ra tứ giác APMQ là hình chữ nhật (dhnb)
b, Chứng minh O, I, E thẳng hàng
+ Nối A với M và E với O
+ Có AE và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E nên EO đi qua trung điểm AM (1)
+ Có APMQ là hình chữ nhật, suy ra AM và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (tính chất) (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, I, O thẳng hàng.
III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M và N. Chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.
Bài 3: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0
Bài tập Toán 9: Chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán hình xuất hiện nhiều trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được Giai
Toan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng
Cách 1: Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.
Cách 2: Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba
Cách 3: Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba
Cách 4: Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao của tam giác.
B. Bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng
Ví dụ 1: Cho nửa đường đường tròn (O; R), đường kính AB. Một điểm M cố định thuộc đoạn thẳng OB (M khác B và M khác O). Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt nửa đường tròn đã cho tại N. Trên cung NB lấy điểm E bất kì (E khác B và E khác N). Tia BE cắt đường thẳng d tại C, đường thẳng AC cắt nửa đường tròn tại D. Gọi H là giao điểm của AE và đường thẳng d.
a) Chứng minh tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ba điểm B, D, H thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Xét tứ giác HEBM ta có
Vậy tứ giác HEBM nội tiếp đường tròn.
b) Xét tam giác CAB có AE ⊥ CB nên AE là đường cao trong tam giác CAB.
CA ⊥ BD (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> BD là đường cao trong tam giác CAB
Ta có BD giao với AE tại H nên H là trực tâm của tam giác CAB.
Vậy B, H, D thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng OA (C khác O và C khác A). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung BK (M khác B và K). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của HD.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Chứng minh AN ⊥ BN từ giả thiết N ∈ (O) đường kính AB.
Chứng minh AD ⊥ BN:
Chỉ ra AM, DC là hai đường cao của tam giác ABD, AM ∩ DC = {H} nên H là trực tâm của tam giác ABD
=> AD ⊥ BH hay AD ⊥ BN
=> Ba điểm A, N, D thẳng hàng.
b) Gọi I là trung điểm cuả DH. Chỉ ra tam giác DHN vuông tại N là có NI là trung tuyến
=> NI = DH/2 = DI (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
=> Tam giác IDN cân tại I =>
Chỉ ra tam giác OAN cân tại O =>
=>
Xét tam giác ACD vuông tại C nên
=> IN ⊥ ON
Mà ON là bán kính của (O) nên IN là tiếp tuyến của (O) hay tiếp tuyến N của (O) đi qua I là trung điểm của DH.
C. Bài tập tự luyện chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M và N. Chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.
Bài tập 3: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 BD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Gọi E là trung điểm của PN.Chứng minh rằng ba điểm M, O, E thẳng hàng.
Xem thêm: Thiện Nữ U Hồn 2006 ) - Xem Thiện Nữ U Hồn Để Ngẫm Về 1 Chữ Tình
Bài tập 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Điểm M bất kỳ trên cung nhỏ
BC. Gọi E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Gọi H là trực tâm tam giác
ABC. Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.
-------------------------------------
Hy vọng tài liệu Chứng minh ba điểm thẳng hàng sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức chuyên đề Đường tròn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!