Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức dạng , trong đó a, b là những hằng số với .
Bạn đang xem: Chuyên đề hàm số lớp 9
Hàm số bậc nhất có tập xác định là .
2. Tính chất
Tính đồng biến, nghịch biến:
Với , hàm số đồng biến trên .
Với , hàm số nghịch biến trên .
Đồ thị
- Đồ thị của hàm số là một đường thẳng gọi là đường thẳng . Nó có hệ số góc bằng a và có đặc điểm:
- Không song song và không trùng với các trục tọa độ;
- Cắt trục hoành tại điểm và cắt trục tung tại điểm .
Quan hệ giữa 2 đường thẳng
Cho hai đường thẳng , ta có:
+ song song với và
+ trùng với và
+ vuông góc với
+ cắt
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số (m là tham số).
a) Xác định các giá trị của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b) Tìm các giá trị của m để hàm số trên là hàm số đồng biến.
Giải
a) Hàm số là hàm số bậc nhất .
b) Hàm số là hàm số đồng biến .
Nhận xét:
Để nhận dạng hàm số bậc nhất chúng ta cần lưu ý rằng: Công thức có dạng . Chẳng hạn, hàm số có hệ số nhưng không phải là hàm bậc nhất vì nó không có dạng .
Ví dụ 2: Cho hai hàm số và (với m là tham số).
Tìm giá trị của m để hai hàm số trên là hàm bậc nhất và đồ thị của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.
Giải
Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi:
Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi:
Vậy các giá trị của m thoả mãn đồng thời các điều kiện và là giá trị cần tìm.
Nhận xét:
+ Với , hai hàm số đã cho trở thành và . Khi đó không phải là hàm số bậc nhất nhưng đồ thị của nó cũng là một đường thẳng và nó song song với trục hoành, còn hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng cắt trục hoành. Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số và cắt nhau.
+ Tương tự với , hai hàm số đã cho trở thành: và . Lậpluận tương tự ta cũng có đồ thị của hai hàm số này cắt nhau.
+ Các đường thẳng và học ở chương III.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng và .
Tìm m và n để trùng .
Tìm m và n để song song .
Giải
trùng khi và chỉ khi
song song khi và chỉ khi
Nhận xét :
Đối với bài toán trên, chúng ta cần xác định rõ yêu cầu của đề là tìm điều kiện để 2 đường trùng nhau hoặc song song chứ không yêu cầu chúng phải là hàm bậc nhất. Vì vậy, nếu đặt điều kiện hoặc thì lời giải sẽ không đúng.
Ví dụ 4. Cho ba hàm số: có đồ thị là
có đồ thị là
có đồ thị là
Vẽ đồ thị của ba hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.
Cho biết cắt tại A, cắt tại B, cắt tại C. Tính diện tích tam giác ABC.
Giải
Xem hình 1.
Từ câu a, ta có: .
có phương trình .
Cho thì do đó cắt Oy tại .
Gọi H là hình chiếu của điểm C lên Oy thì . Ta có:
.
Nhận xét :
Với phần b) chúng ta có thể giải theo một số cách khác. Chẳng hạn:
Cách 2: Ta kiểm tra thấy . Lại có:
.
(K là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành). Khi đó .
Cách 3: Gọi E là giao của BC và trục hoành. Tìm được . Khi đó:
.
Ví dụ 5.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng .
Xác định hàm số biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng .
Giải
Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng có dạng:
.
Vì đi qua điểm nên (thoã mãn điều kiện ).
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Vì đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm nên ta có: (1).
Vì đồ thị của hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng nên ta có: (2).
Từ (1) và (2) suy ra: .
Nhận xét :
Ngoài cách giải như trên, chúng ta có cũng thể viết phương trình đường thẳng bằng cách đi tìm 2 yếu tố, đó là: Một điểm thuộc đường thẳng và hệ số góc k của nó. Khi đó phương trình của đường thẳng là: .
Áp dụng vào phần a, đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng nên từ đó suy ra đường thẳng cần tìm có hệ số góc đồng thời đi qua .
Như vậy ta có: Phương trình cần tìm là: .
Với phần c, ta cũng có thể giải bằng cách đi tìm 2 điểm trên đường thẳng. Sau đó làm tương tự phần a.
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng và hai điểm và (với k,n là các tham số).
Tìm các giá trị của k và n để:
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Đường thẳng d song song với đường thẳng
Cho . Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Giải
Đường thẳng đi qua điểm .
Đường thẳng đi qua điểm .
Vậy với thì đi qua hai điểm A và B.
Đường thẳng song song với đường thẳng .
Vậy với và thì đường thẳng song song với đường thẳng .
Với , đường thẳng cắt Ox (thỏa mãn).
Giao điểm của với Ox là ,
Các và vuông tại O nên .
Ta có
(thoả mãn).
Vậy với hoặc thì .
Nhận xét :
Với phần 1b, chúng ta thường hay bỏ qua bước kiểm tra hằng số tự do của hai đường thẳng khác nhau. Nhắc lại, hai đường thẳng và song song với nhau khi và chỉ khi và .
Với phần 2, nếu quá lệ thuộc vào hình vẽ học sinh có thể thiếu mất một trường hợp.
Ví dụ 7. Cho đường thẳng d là đồ thị của hàm số bậc nhất: (m là tham số)
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d bằng .
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d lớn nhất.
Giải
Đ ường thẳng d luôn đi qua điểm cố định khi và chỉ khi với mọi m
đúng với mọi m
Vậy đường thăng d luôn đi qua điểm cố định .
Điều kiện để là hàm số bậc nhất là .
Gọi A là giao điểm của d và trục Oy:
Với
Gọi B là giao điểm của d và trục Ox:
Với .
Do điểm O cách đường thẳng d một đoạn bằng nên đường thẳng d không đi qua O hay .
Kẻ . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Mà theo giả thiết có .
(thoả mãn).
Vì (OM không đổi do O và M cố định).
Dấu xảy ra khi .
Gọi là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra và .
Từ đó ta có . Như vậy ta được là đường thẳng đi qua hai điểm O và M, đường thẳng này có hệ số góc .
Mà d nên hệ số góc của đường thẳng dlà .
Do d vuông góc với OM suy ra (thoả mãn).
Nhận xét :
Với phần a, chúng ta có thể tóm tắt y tưởng giải như sau:
Bài toán: Tìm điểm cố định của đường thẳng có phương trình: (trong đó a,b là các biểu thức phụ thuộc vào tham số m).
Cách giải:
Bước 1: Gọi điểm cố định cần tìm là (1) đúng với mọi m.
Bước 2: Biến đổi (1) về phương trình ẩn m:
đúng với mọi m (với P, Q là biểu thức không phụ thuộc vào m).
Bước 3: Sử dụng tính chất:
Phương trình ẩn m là: đúng với mọi m
Từ đó tìm được là toạ độ của điểm cố định.
Với phần c, ngoài cách giải đã trình bày ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức. Cụ thể như sau:
với mọi m.
Đẳng thức xảy ra khi hay
Ví dụ 8.Trong hệ trục toạ đọ Oxy, cho hàm số (1) . Cho điểm A có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị của hàm số (1). Xác định m để điểm A nằm trong góc vuông thứ IV.
Giải
Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số (1) và có hoành độ bằng 1 nên với
.
Điểm A nằm trong góc vuông thứ IV của hệ trục toạ độ Oxy
Vậy thoã mãn yêu cầu của đề bài.
Nhận xét:
Hai trục toạ độ chia mặt phẳng thành 4 phần: Góc phần tư thứ I,II,III,IV.
Điểm nằm trong góc phần tư thứ I khi và chỉ khi
Điểm nằm trong góc phần tư thứ II khi và chỉ khi
Điểm nằm trong góc phần tư thứ III khi và chỉ khi
Điểm nằm trong góc phần tư thứ IV khi và chỉ khi
Ví dụ 9. Cho hàm số
Chứng minh khi m thay đổi thì đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định.
Giải
Gọi điểm M (x;y) là một điểm của đồ thị, khi đó:
M cố định khi và chỉ khi đúng với mọi m
đúng với mọi m
Vậy là điểm cố định cần tìm.
Nhân xét:
Cách giải trên dựa vào tính chất:
Phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a=b=c=0.
Ví dụ 10. Cho ba điểm . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Giải
Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Phương trình của d có dạng là (1).
Do toạ độ của A, B thoả mãn (1) nên ta có hệ:
.
Lại có:Điểm thoả mãn phương trình .Từ đó suy ra A, B, C thẳng hàng.
III. Bài tập vận dụng
8.1. Cho 2 đường thẳng và .
a) Tìm m để
b) Tìm m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho .
Hướng dẫn giải – đáp số
a)
b)
Do nên tan .
8.2. Cho đường thẳng d có phương trình ( với ), d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B. Tìm m sao cho:
a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng ;
b) Diện tích tam giác AOB bằng .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số có đồ thị là đường thẳng d, điều kiện: .
Do d cắt trục Ox tại điểm A nên với:
Do d cắt trục Oy tại điểm B nên với
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O lên AB suy ra OH là khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng d.
Suy ra . Mặt khác, do tam giác OAB vuông tại O và OH là đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông nên ta có:
hoặc (thỏa mãn điều kiện). Vậy hoặc .
b) Theo a, ta có
hoặc
8.3. Xác định phương trình đường thẳng biết rằng nó song song với đường thẳng d có phương trình và đi qua điểm .
Hướng dẫn giải – đáp số
Do đường thẳng song song với đường thẳng d và đường thẳng d có hệ số góc bằng -1 nên ta có đường thẳng cũng có hệ số góc là -1.
Từ đó suy ra đường thẳng có phương trình dạng: . Do điểm thuộc đường thẳng nên ta có: . Vậy đường thẳng có phương trình là .
8.4. Cho hai đường thẳng cắt Ox tại A, cắt Oy tại B; cắt Ox tại C, cắt Oy tại D; và cắt nhau tại M.
a) Chứng minh tam giác MAC vuông tại M.
b) Tính diện tích tam giác MAC.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hệ số góc của hai đường lần lượt là .
Mà tích của chúng là nên ta có .
T ừ đó ta có tam giác MAC vuông tại M.
b) Tìm được .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên trục hoành.
Từ đó có
8.5. Cho ba đường thẳng:
a) Tìm giá trị của m để
b) Tính các giá trị của m để ba đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Đường thẳng và đường thẳng song song khi và chỉ khi
Vậy thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
b) Tìm được là giao điểm của và .
Khi đó 3 đường và đồng quy khi và chỉ khi:
hoặc .
8.6. Cho hàm số
a) Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến trên tập số thực.
b) Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c) Tìm m để đồ thị của các hàm số và đồng quy.
d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số nghịch biến .
b) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 tức là điểm thuộc đồ thị của hàm số:
c) Tìm được điểm là giao điểm của hai đường thẳng và . Khi đó:
Đồ thị của các hàm số đồng quy.
Điểm thuộc đồ thị của hàm số:
d) Giả sử hàm số có đồ thị là đường thẳng d, điều kiện:
Giả sử d cắt trục Ox tại điểm A, khi đó với:
Giả sử d cắt trục Oy tại điểm B
Khi đó với
Mà tam giác OAB vuông tại O nên ta có:
hoặc ( thỏa mãn)
Vậy hoặc
8.7. Cho hàm số .
a) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn nhất.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Gọi là một điểm thuộc đồ thị của hàm số
Điểm M cố định đúng với mọi m.
đúng với mọi m.
Như vậy ta có điểm cố định cần tìm là .
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d:
Khi đó độ dài đoạn thẳng OH là khoảng cách từ O tới đường thẳng d. Ta có:
(với OM không đổi do O và M cố định).
Dấu xảy ra khi .
Gọi là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra và . Từ đó ta có . Như vậy ta được là đường thẳng đi qua hai điểm O và M, đường thẳng này có hệ số góc .
Mà d: nên hệ số góc của đường thẳng d là .
Do d vuông góc với OM
Suy ra (thỏa mãn)
Vậy
8.8. Cho hàm số .
a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c) Tìm m để các đồ thị của các hàm số và đồng quy.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi .
b) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 tức là điểm thuộc đồ thị của hàm số:
c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là . Ba đường thẳng và đồng qui khi và chỉ khi đường thẳng đi qua điểm
8.9. Cho hàm số .
a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số .
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm .
c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số có đồ thị song song với đồ thị của hàm số
b) Hàm số có đồ thị đi qua điểm có tọa độ
c) Gọi là một điểm thuộc đồ thị của hàm số
Điểm M cố định đúng với mọi m.
đúng với mọi m.
Như vậy ta có điểm cố định cần tìm là .
8.10. Cho đường thẳng d có phương trình là .
Chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định ấy.
Các bài Toán về đồ thị Hàm số lớp 9
Chuyên đề hàm số và đồ thị ôn thi vào lớp 10 đưa ra các dạng bài liên quan đến hàm số bậc nhất, parabol và đường thẳng. Tài liệu này giúp các bạn học sinh lớp 9 củng cố lại kiến thức toán học để chuẩn bị cho kì thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 THPT sắp tới.
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, Vn
Doc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 9. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
CHUYÊN ĐỀ VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Cơ bản I. Hàm số bậc nhất.
1. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị của hàm số song song với đt y = 3x + 1 và đi qua A (2; 5).
b) Đồ thị của hàm số vuông góc với đt y = x – 5 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng -2.
c) Đồ thị hàm số đi qua A (-1; 2) và B (2; -3).
d) Đồ thị hàm số cắt (P): y = x² tại 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là -1 và 2.
2. Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3.
a) Tìm m để hàm số luôn đồng biến; Tìm m để hàm số luôn nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị hàm số // với đt: y = 3x –3 + m;
c) Tìm m để đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y = 3x –3 + m.
d) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ = 3.
e) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ = 3.
f) Tìm m để đồ thị các hàm số y = -x + 2; y = 2x - 1; y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
a) Tìm m để d1 cắt d2 tại điểm C trên trục tung.
b) Với m vừa tìm được tìm giao điểm A, B của 2 đường thẳng d1, d2 với Ox.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
4. Tìm m để đt: y = mx + 1 cắt đt: y = 2x –1 tại 1 điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ 2.
II. Parabol và đường thẳng.
1. Cho (P): y = (2m - 1)x². Tìm m để (P) đi qua A(2; -2). Với m vừa tìm được viết PT đt qua O(0; 0) và qua điểm T thuộc (P) có tung độ bằng -1/16.
2. Cho (P): y = x²/2 và (d): mx + y = 2. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.
3. Cho (P): y = x² và đường thẳng: y = mx – m (d)
a) Tìm m để d tiếp xúc với (P).
b) Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.
4. Cho (P): y = x²+ 1 và (d): y = 2x + 3.
a) Vẽ (P) và (d).
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và (d).
c) Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên Ox. Tính diện tích tứ giác ABCD.
5. Cho (P): y = x².
a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ Oxy.
b) Trên (P) lấy 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là 1 và 3. Viết PT AB.
c) Tính diện tích tứ giác có đỉnh là A, B và các điểm là 2 hình chiếu của A và B trên Ox.
6. Cho (P): y = 2x².
a) Vẽ (P).
b) Tùy theo m, hãy xét số giao điểm của đường thẳng y = mx – 1 với (P).
c) Lập PT đt song song với đt: y = 2x + 2010 và tiếp xúc với (P).
d) Tìm trên (P) điểm cách đều 2 trục tọa độ.
7. Cho
a) Viêt pt cua đương thăng d
b) Chứng tỏ d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.
8. Cho (P): y = x2 và đường thẳng d có hệ số góc k đi qua M(0; 1).
a) Viết pt đường thẳng (d)
b) Chứng minh với mọi k đt (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.
c) Gọi hoành độ của A, B lần lượt là x1, x2. Chứng minh
9. Cho hàm số y = -x2 và đường thẳng (d) đi qua N(-1; -2) có hệ số góc k.
a) Viết phương trình đường thẳng (d)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điệm A, B. Tìm k để A, B nằm về 2 phía của trục tung.
c) Gọi
Nâng cao:
10. Tìm điểm M(x1; y1) trên đt: 2x + 3y= 5 sao cho khoảng cách từ O đến M là nhỏ nhất.
11. Xác định hàm số y = ax+b biết đồ thị hàm số tiếp xúc với (P): y = 2x2 và đi qua điểm A(0; -2).
12. Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3. (d)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn đi qua 1 điểm cố định. Tìm điểm đó.
b) Tìm m để (d) cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích = 2.
13. Cho
a) Viết PT đt đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P).
b) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến O bằng 1.
14. *Cho (P): y = - x2 và (d) y = m cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.
Tìm m để tam giác OAB đều. Tính diện tích tam giác đó.
15. * Tìm m để k/cách từ O(0;0) đến đt: y = (m - 1)x + 2 lớn nhất; (tương tư y = (m - 2)x -m).
16. Cho (P): y = 2x2.
Xem thêm: Đã Mở Bán Vé Tàu 5 Sao Sài Gòn Nha Trang Dịch Vụ Chất Lượng, Tàu Hỏa 5 Sao Phục Vụ Du Khách Đi Tp Hcm
Trên đây Vn
Doc đã giới thiệu Chuyên đề hàm số và đồ thị ôn thi vào lớp 10. Tài liệu gồm các bài Toán về đồ thị hàm số lớp 9 sẽ giúp các bạn học sinh tự luyện tập tại nhà từ đó nắm chắc kiến thức Toán lớp 9, chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn ôn tập tốt
.................................................
Ngoài Chuyên đề hàm số và đồ thị ôn thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2023 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt